\(A=\log_{2013}\left\{\log_4\left(\log_2256\right)-\log_{0,25}\left[\log_9\left(\log_464\right)\right]\right\}=\log_{2013}\left\{\log_4\left(\log_22^8\right)-\log_{0,25}\left[\log_9\left(\log_44^3\right)\right]\right\}\)

   \(=\log_{2013}\left\{\log_48-\log_{0,25}\log_93\right\}=\log_{2013}\left\{\log_{2^2}2^2-\log_{\left(\frac{1}{2}\right)^2}\frac{1}{2}\right\}\)

   \(=\log_{2013}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)=\log_{2013}1=0\)

\(a;b>0\Rightarrow3a+2b+1>1\)

\(\Rightarrow log_{3a+2b+1}\left(9a^2+b^2+1\right)\) đồng biến

Mà \(9a^2+b^2\ge2\sqrt{9a^2b^2}=6ab\Rightarrow log_{3a+2b+1}\left(9a^2+b^2+1\right)\ge log_{3a+2b+1}\left(6ab+1\right)\)

\(\Rightarrow log_{3a+2b+1}\left(9a^2+b^2+1\right)+log_{6ab+1}\left(3a+2b+1\right)\ge log_{3a+2b+1}\left(6ab+1\right)+log_{6ab+1}\left(3a+2b+1\right)\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}log_{6ab+1}\left(3a+2b+1\right)=1\\3a=b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6ab+1=3a+2b+1\\b=3a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow18a^2+1=3a+6a+1\)

\(\Leftrightarrow18a^2-9a=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

a) Áp dụng công thức: \(\log_ab.\log_bc=\log_ac\)

b) Vì \(\dfrac{1}{\log_{a^k}b}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{k}\log_ab}=\dfrac{k}{\log_ab}\) nên biểu thức vế trái bằng:

\(VT=\dfrac{1}{\log_ab}\left(1+2+...+n\right)\)

\(=\dfrac{1}{\log_ab}.\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=VP\)

a. Vì \(0< 0,1< 1\) nên bất phương trình đã cho 

\(\Leftrightarrow0< x^2+x-2< x+3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-2>0\\x^2-5< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\\-\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< x< -2\\1< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{-\sqrt{5};-2\right\}\) và \(\left\{1;\sqrt{5}\right\}\)

b. Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x^2-6x+5>0\end{matrix}\right.\)

Ta có:

 \(log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2log^3\left(2-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)\ge log_{\dfrac{1}{3}}\left(2-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+5\le\left(2-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x-1\ge0\)

Bất phương trình tương đương với:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5>0\\2-x>0\\2x-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>5\end{matrix}\right.\\x< 2\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)

Đặt \(log_{10a+3b+1}\left(25a^2+b^2+1\right)=t\Rightarrow log_{10ab+1}\left(10a+3b+1\right)=2-t\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(10a+3b+1\right)^t=25a^2+b^2+1\\\left(10ab+1\right)^{2-t}=10a+3b+1\end{cases}}\)
Áp dụng cô si ta có:
\(25a^2+b^2+1\ge10ab+1\)
\(\Leftrightarrow\left(10a+3b+1\right)^t\ge10ab+1\)
\(\Leftrightarrow\left(10a+3b+1\right)^{t\left(2-t\right)}\ge\left(10ab+1\right)^{2-t}\)
\(\Leftrightarrow\left(10a+3b+1\right)^{t\left(2-t\right)}\ge10a+3b+1\)
\(\Rightarrow t\left(2-t\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow-t^2+2t-1\ge0\)
\(\Rightarrow t=1\)
Giải hpt: \(\hept{\begin{cases}10a+3b+1=25a^2+b^2+1\\10ab+1=10a+3b+1\end{cases}}\)là ra kq

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
BG cắt AC tại M (M là trung điểm của AC)
BG vuông góc với đáy
Trong tam giác BB'G ta có: BG=BB'.cos(60)=1/2.a ; B'G=BB'.sin(60)=\(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
BM=3/2.BG=3/4.a
Đặt BC=AC=x => CM=1/2.x
BC²+CM²=BM²
<=> x²+1/4.x²=9/16.a²
=> x=\(\frac{3\sqrt{5}}{10}a\)
Diện tích tam giác ABC=1/2. AC.BC=9/40.a²
Thể tích lăng trụ = S(ABC).B'G=9/40.a².\(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)=\(\frac{a^3.9\sqrt{3}}{80}\)

 

\(P=3log_{a^2b}a-\dfrac{3}{4}log_a2.log_2\left(\dfrac{a}{b}\right)\)

\(=\dfrac{3}{log_a\left(a^2b\right)}-\dfrac{3}{4.log_2a}.\left(log_2a-log_2b\right)\)

\(=\dfrac{3}{log_aa^2+log_ab}-\dfrac{3}{4.log_2a}.log_2a+\dfrac{3}{4}.\dfrac{log_2b}{log_2a}\)

\(=\dfrac{3}{2+3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}.log_ab=\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{21}{10}\)

\(2^x=x^2\Rightarrow xln2=2lnx\Rightarrow\frac{ln2}{2}=\frac{lnx}{x}\Rightarrow x=2\)

Ta cũng có \(\frac{2ln2}{2.2}=\frac{lnx}{x}\Rightarrow\frac{ln4}{4}=\frac{lnx}{x}\Rightarrow x=4\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=4\end{matrix}\right.\)

Pt dưới: \(4logx-\frac{logx}{loge}=log4\)

\(\Leftrightarrow logx\left(4-ln10\right)=log4\Leftrightarrow logx\left(ln\left(\frac{e^4}{10}\right)\right)=log4\)

\(\Rightarrow logx=\frac{log4}{ln\left(\frac{e^4}{10}\right)}=log4.log_{\frac{e^4}{10}}e\)

\(\Rightarrow x=10^{log4.log_{\frac{e^4}{10}}e}=\left(10^{log4}\right)^{log_{\frac{e^4}{10}}e}=2^{2.log_{\frac{e^4}{10}}e}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2\\d=4\end{matrix}\right.\)

Bạn tự thay kết quả và tính

đk: \(\begin{cases}x+2\ne0\\4-x>0\\6+x>0\end{cases}\)

ta có \(3\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)-3=3\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)+3\log_{\frac{1}{4}}\left(6+x\right)\) suy ra \(\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)-\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)\left(6+x\right)\) suy ra \(\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right).\frac{1}{4}=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)\left(6+x\right)\) suy ra \(\frac{x+2}{4}=\left(4-x\right)\left(6+x\right)\)

giải pt tìm ra x

đối chiếu với đk của bài ta suy ra đc nghiệm của pt